ARITMÉTICA
CUALITATIVA Y
MATEMÁTICA
VORTICIAL

“Si solo conocieras la magnificencia del 3, 6 y 9, entonces tendrías una clave al universo” (Nikola Tesla)

“Los números son reales y la naturaleza se expresa a sí misma con números” (Marko Rodin)


Aritmética Cualitativa

La aritmética cualitativa, también denominada “sagrada” o “circular” −en contraposición a la aritmética tradicional que es cuantitativa, profana y lineal− es un caso particular de la llamada “aritmética del reloj” o “aritmética modular”, inventada por Gauss en 1801 en su libro “Disquisitiones Aritmeticae”.

En general, un número n en aritmética modular es el resto de dividir dicho número entre el módulo m (resto de n/m). Por ejemplo, si el módulo es 12, el número 15 es 15−12=3, el número 33 es 33−12*2=9, el número 12 es 0 y 7+8 es 15−12=3. La fórmula para calcular el número n módulo m es: Por ejemplo, En el caso de la aritmética cualitativa, el reloj (o módulo) tiene 9 horas, y el 0 se representa como 9.


Raíz digital de un número positvo

La aritmética cualitativa se basa en el concepto de raíz digital, también llamada “raíz mística”, “raíz cuántica” o “paridad decimal”.

La raíz digital de un número positivo (entero o con un número finito de cifras decimales) es la suma de todos sus dígitos. Si esta suma es mayor que 9, se vuelven a sumar los dígitos, y así sucesivamente hasta obtener un dígito entre 1 y 9. Llamando rd(r) a la función “raíz digital” de un número r, tenemos los ejemplos: Hay una forma directa de calcular la raíz digital de un número r: Por ejemplo, El número de sumas que hay que realizar a un número r para obtener su raíz digital se denomina “persistencia aditiva” de r. Llamando pa(r) a la función “persistencia aditiva” de r, tenemos: La persistencia aditiva de un dígito es cero: pa(5) = 0


Raíz digital complementaria

La raíz complementaria, contraria, opuesta, simétrica o dual de un dígito d (entre 1 y 9) es 9−d. Lo representaremos como −d. Por definición, el complemento de 9 es 9 (su complemento es el mismo). En el “reloj” de módulo 9, los dígitos a la derecha del 9 (1, 2, 3, 4) son positivos (o de polaridad positiva), los dígitos a la izquierda (5, 6, 7, 8) son negativos (de polaridad negativa). Obsérvese que si un dígito es par, su contrario es impar, y viceversa. Se cumplen las propiedades:
Raíz digital de un número negativo

La raíz digital de un dígito negativo es el complemento a 9: La raíz digital de un número negativo es el opuesto de su raíz digital:
Propiedades
  1. La raíz digital de un dígito entre 1 y 9 es el mismo dígito.
    ⟨( rd(n)=n ↔ n∈{1…9} )⟩

    rd(5) = 5

  2. ⟨( rd(r+9) = rd(r) )⟩
    rd(43+9) = rd(52) = 7 = rd(43)
    rd(45.3+9) = rd(54.3) = 3 = rd(45.3)

  3. ⟨( rd(r*9) = 9 )⟩
    rd(45*9) = rd(405) = 9
    rd(45.3*9) = rd(407.7) = rd(18) = 9

  4. ⟨( rd(r1+r2) = rd(rd(r1)+rd(r2)) )⟩
    rd(451+137) = rd(588) = rd(21) = 3
    rd(rd(451)+rd(137)) = rd(10+11) = rd(21) = 3

  5. ⟨( rd(r1−r2) = rd(rd(r1)−rd(r2)) )⟩
    rd(451−137) = rd(314) = 8
    rd(rd(451)−rd(137)) = rd(10−11) = rd(−1) = 9−1 = 8

  6. ⟨( rd(r1*r2) = rd(rd(r1)*rd(r2)) )⟩
    rd(45*13) = rd(585) = rd(18) = 9
    rd(rd(45)*rd(13)) = rd(9*4) = rd(36) = 9

  7. ⟨( rd(10^n) = 1 )⟩

  8. ⟨( rd(r*(10^n)) = r )⟩

  9. La raíz digital de la diferencia entre un número entero y el mismo número con los dígitos en orden inverso es 9.

    ⟨( rd(n−inverso(n)) = 9 )⟩
    rd(531−135) = rd(396) = 9
    rd(135−531) = rd(−396) = −rd(396) = −9 = 9

  10. ⟨( (rd(n) ∈ {1 4 7}) → (rd(n*3) = 3) )⟩
    ⟨( (rd(n) ∈ {2 5 8}) → (rd(n*3) = 6) )⟩
    ⟨( (rd(n) ∈ {3 6 9}) → (rd(n*3) = 9) )⟩

    rd(127) = rd(10) = 1 rd(127*3) = rd(381) = 3
    rd(128) = rd(11) = 2 rd(128*3) = rd(384) = 6
    rd(129) = rd(12) = 3 rd(129*3) = rd(387) = 9

  11. ⟨( (rd(n) ∈ {1 4 7}) → (rd(n*6) = 6) )⟩
    ⟨( (rd(n) ∈ {2 5 8}) → (rd(n*6) = 3) )⟩
    ⟨( (rd(n) ∈ {3 6 9}) → (rd(n*6) = 9) )⟩

    rd(127) = rd(10) = 1 rd(127*6) = rd(762) = 6
    rd(128) = rd(11) = 2 rd(128*6) = rd(768) = 3
    rd(129) = rd(12) = 3 rd(129*6) = rd(774) = 9
Estas propiedades son las duales de las anteriores.


Observaciones
Tablas de sumar y restar cualitativas

El primer operando es la fila. El segundo es la columna. este criterio es el de todas las tablas.

+123456789
1234567891
2345678912
3456789123
4567891234
5678912345
6789123456
7891234567
8912345678
9123456789


−123456789
1987654321
2198765432
3219876543
4321987654
5432198765
6543219876
7654321987
8765432198
9876543219

La tabla de restar es realmente redundante, pues
⟨( d1−d2 = d1 + (−d2) )⟩,
que es equivalente a
⟨( d1−d2 = d1 + (9 − d2) )⟩
Por ejemplo, 4−7 = 4+2 = 6.

Estas tablas se pueden representar gráficamente en un círculo con los 9 vértices de un eneágono. El 9 se coloca en el vértice superior porque es el dígito más importante (ocurre como con el 12 en el reloj). Una suma se realiza recorriendo el círculo en el sentido de las agujas del reloj. Las representaciones de las sumas de (5, 6, 7, 8) son las duales de (4, 3, 2, 1), es decir, se recorre el círculo en sentido contrario.

Sumar 1
 
Sumar 2
Sumar 3
 
Sumar 4
Sumar 5
 
Sumar 6
Sumar 7
 
Sumar 8
Sumar 9

Tabla de multiplicar cualitativa

*123456789
1123456789
2246813579
3369366369
4483726159
5516273849
6639639639
7753186429
8876543219
9999999999

En esta tabla se pueden observar las siguientes propiedades:
Multiplicar
por 1
 
Multiplicar
por 2
Multiplicar
por 3
 
Multiplicar
por 4
Multiplicar
por 5
 
Multiplicar
por 6
Multiplicar
por 7
 
Multiplicar
por 8
Multiplicar
por 9

Obsérvese que los gráficos 2 y 5, 4 y 7, 3 y 6, son duales, pues se recorren sentido contrario.


Inverso de un dígito

De acuerdo con la tabla anterior, los pares de inversos son (2, 5) y (4, 7). El inverso de 1 es 1. El inverso de 8 es 8. No existen los inversos de 3, 6, y 9.

d123456789
1÷d15−72−48−

Diagrama de
inversos

Observaciones: Ejemplos:
  1. rd(1÷4) = rd(0.25) = 7
  2. rd(1÷8) = rd(0.125) = 8
  3. rd(124÷47) = rd(7÷11) = rd(7÷2) = rd(3.5) = 8
  4. rd(10÷8) = rd(1.25) = 8
  5. rd(100÷3) no está definida

Tabla de potencias cualitativas

^123456789
1111111111
2248751248
3399999999
4471471471
5578421578
6699999999
7741741741
8818181818
9999999999

En esta tabla se pueden observar las siguientes propiedades:
La secuencia de Fibonacci cualitativa

La secuencia de Fibonacci es un arquetipo de forma, de crecimiento en espiral y de divina proporción:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368,...

en donde cada elemento de la secuencia es la suma de los dos anteriores.

La secuencia de las raíces digitales correspondientes son:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9 y sus complementarios:
8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9

Un matemático australiano de origen indonesio llamado Jain de Mullumbimby [2002], descubrió este patrón cualitativo cíclico de 12×2=24 dígitos (12 principales + 12 complementarios).
Raíces digitales de los números primos

A continuación se presenta la tabla de los primeros números primos con sus correspondientes raíces digitales. Las raices digitales de los números primos (excepto el 3) son (1, 2, 4, 5, 7, 8), que son los únicos dígitos que tienen inverso. No aparecen ni el 6 ni el 9.

2357111317192329313741434753596167
2357248152415728574
717379838997101103107109113127131137139149151157163
8172872481515245741
167173179181191193197199211223227229233239241251257263269
5281248147248578528
271277281283293307311313317331337347349353359367373379383
1724515727457287415
389397401409419421431433439443449457461463467479487491499
2154578172872482154
503509521523541547557563569571577587593599601607613617619
8581178524128574157
631641643647653659661673677683691701709719727733739743751
1248524728787874154
757761769773787797809811821823827829839853857859863877881
1548458124822724848
883887907911919929937941947953967971977983991997
1572121528485217

Filosofía

La aritmética cualitativa motiva a hacer reflexiones filosóficas:
Matemática Vorticial


La matemática vorticial (Vortex Based Mathematics), también llamada “matemática de torsión” (Torsion Mathematics) se basa en un descubrimiento de Marko Rodin de dos patrones fundamentales de la aritmética cualitativa:
  1. Un patrón de 6 dígitos: (1, 2, 4, 8, 7, 5) en forma de símbolo del infinito.

    Los dos patrones
    fundamentales de la
    matemática vorticial

    Empezando por el 1, y multiplicando sucesivamente por 2, se obtienen los números 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ..., que corresponden a las raíces digitales 1, 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, 4, ..., es decir, se tiene un ciclo formado por 6 dígitos: (1, 2, 4, 8, 7, 5), que representado en el círculo (o reloj de 9 horas) se obtiene una forma simétrica en forma de bucle infinito.

    Si en vez de multiplicar por 2, dividimos por 2, tenemos los números 1, 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125,.... Sus correspondientes raíces digitales son (1, 5, 7, 8, 4, 2), es decir, recorremos el ciclo básico en sentido contrario.

  2. Un patrón de 3 dígitos: (3, 6, 9) en forma de triángulo. Multiplicando 3 por 2, se obtiene 6. Multiplicando 6 por 2 se vuelve a obtener 3. Es decir, 3 y 6 se comportan como un dipolo, como un patrón dual o un péndulo. Multiplicando 9 por cualquier número se vuelve a obtener 9. 9 es un invariante.
Observaciones:
El toro

Colocando la secuencia (6, 9, 3, 3, 9, 6) −(6, 9, 3) y su complementario (3, 9, 6)− entre dos copias de la secuencia (1, 2, 4, 8, 7, 5), una en sentido positivo y la otra en sentido negativo, obtenemos:

578421
693396
124875

Uniendo estos patrones de forma circular, se obtienen toros de diferentes tamaños. El más pequeño es una rejilla de 9×9. En el toro todos los números quedan conectados.

Rodin, inspirado en la fe Baha’i denominó al toro “ABHA”, que significa “el nombre más grande de Dios”. Su pronunciación tiene dos fases: AB (compresión) y HA (descompresión).
La bobina Rodin

A partir del toro surgió la bobina Rodin. Rodin descubrió que el ciclo (1, 2, 4, 8, 7, 5) implementado como bobina eléctrica lograba la máxima eficiencia energética en la transformación de la energía. Ya hay empresas (como Microsoft y HP) que están utilizando la bobina Rodin. También la está utilizando el gobierno de EE.UU. en antenas de gran sensibilidad.


Reflexiones de Rodin

A partir de las propiedades de la aritmética cualitativa y de sus dos patrones básicos, Marko Rodin realiza una serie de reflexiones filosóficas, algunas un tanto arriesgadas:

Sobre la matemática vorticial: Sobre el toro: Sobre el símbolo del círculo y sus esquemas: Sobre los números: Sobre el 9: Sobre el 3 y el 6:

Adenda

El Eneagrama

El diagrama de la matemática vorticial guarda cierta semejanza con el Eneagrama. El Eneagrama es un antiguo símbolo geométrico sagrado que consiste en un círculo con los vértices de un nonágono (numerados de 1 a 9, con el 9 en la parte superior), con un triángulo equilátero que une los puntos (3, 6, 9) y unas líneas entrelazadas que corresponden a diagonales de orden 2 y 3 del polígono.

El Eneagrama

El círculo simboliza la unidad esencial de todas las cosas. Los vértices−números simbolizan las 9 dimensiones o arquetipos de la realidad. Las líneas simbolizan las relaciones entre los arquetipos.

El Eneagrama describe 9 tipos de personalidad distintos y sus interrelaciones. Cada tipo de personalidad tiene asociados patrones de pensamiento, de sentimiento y de comportamiento. También se utiliza como método para conocer la propia naturaleza de cada uno, para que los patrones de personalidad no sean automáticos sino conscientes, y para desarrollar estados superiores del ser.

Gurdjieff afirmaba que había aprendido el secreto del Eneagrama. Según el célebre ocultista, el Eneagrama:
Algunos ejemplos de manifestaciones del número 9
La Tetraktys pitagórica

La Tetraktys es una figura triangular que consta de 10 puntos colocados en cuatro filas de 1, 2, 3 y 4 puntos, respectivamente. Los pitagóricos la consideraban una estructura mística, sagrada, que simbolizaba el orden, la armonía y la perfección del universo, el símbolo de la manifestación universal, del discurso cósmico en el despliegue de sus infinitas posibilidades.

La Tetraktys
pitagórica

Para los pitagóricos, los números constituyen la esencia de todas las cosas, pero el 10 se consideraba el número más sagrado, pues simbolizaba la totalidad, la fuente de lo eterno y universal, el principio de todas las cosas, el conocimiento de uno mismo y del mundo, así como el retorno a la unidad. Las 4 filas del Tetraktys simbolizan, respectivamente:
  1. La Unidad (mónada), lo divino, el origen de todo lo existente, lo inmanifiesto.

  2. La Diada, el dualismo, el desdoblamiento de la Unidad. Simboliza también el principio femenino.

  3. La Triada, que trasciende los opuestos y participa a la vez de la Unidad y de la dualidad. Simboliza también el principio masculino.

  4. El Cuaternario, que simboliza la armonía y el universo como manifestación en los 4 elementos (tierra, aire, fuego y agua).
El conjunto de todos los anteriores constituye la Década, la totalidad del universo y la vuelta a la unidad: 1+2+3+4 = 10 = 1+0 =1. La Tetraktys incluye 9 triángulos. Considerando el punto central como 0, tenemos 9 dígitos alineados en los lados del triángulo, como en la aritmética cualitativa.


La matemática vorticial y la masonería

Existe una cierta analogía entre el símbolo de la matemática vorticial y el de la masonería. En ambos casos se trata de representar la unión de los opuestos y de los dos modos de conciencia: el racional y analítico con el intuitivo y sintético.

El símbolo de la
matemática
vorticial

El símbolo de la
masonería

En la matemática vorticial, el patrón circular (1, 2, 4, 8, 7, 5) corresponde al HD (hemisferio derecho) del cerebro. El patrón bipolar (3, 6, 9) corresponde al HI (hemisferio izquierdo). En el símbolo masónico, el compás y la escuadra corresponden respectivamente al HD y al HI. En ambos casos hay un centro o espacio intermedio de tipo trascendente.


La matemática vorticial y los cuadrados mágicos

Los cuadrados mágicos tienen la propiedad de que sus filas, columnas y diagonales suman una misma cantidad (la constante mágica). Los cuadrados mágicos de la matemática vorticial tienen más fuerza porque hacen referencia al centro, que es el 9.

El cuadrado mágico chino llamado “Luo Shu” es el cuadrado mágico más antiguo que se conoce (hacia el 2000 a.C.). Según la leyenda, apareció sobre el caparazón de una tortuga (con los números en forma de puntos). Es de orden 3 y constante mágica 15, el más simple de todos. El centro es el número 5. Los números impares (yang) están situados en medio de los lados, formando una cruz, como los puntos cardinales. Los números pares (yin) están situados en los ángulos, delimitando un cuadrado.

Cuadrado mágico
Luo Shu

Este cuadrado mágico se considera, entre otras cosas, un símbolo divino, un amuleto de buena suerte, un cosmograma del orden del mundo y un patrón energético de Feng Shui (hace corresponder las casillas del cuadrado mágico con las habitaciones de una vivienda, según el tipo de actividad a realizar).


Bibliografía